举一个特殊的例子y=e^x,它的导数求出后,就可以推广到更一般的指数函数了。
根据导数的定义,给自变量x一个微小增量dx,可以得到:
把上式展开,然后把e^x提出来,就得到:
观察上式,会发现e^x右边的那一堆,就是(1)式(这里dx趋于0),而(1)式的值为1,因此y=e^x的导数就是它本身,e^x。
把这个特殊的例子搞定之后,再来看更一般化的指数函数y=a^x(a为任意实数)。
这里需要一个小技巧,可以把a写成e^ln a(其中ln是以e为底的自然对数),因此有:
很容易看出,这是一个复合函数,根据链式求导法则,可以得到:
别忘了,a=e^ln a。因此,给定任意一个指数函数y=a^x,它的导数就是(a^x)ln a。
扩展资料
基本求导公式
给出自变量增量
;
得出函数增量
;
作商
求极限
求导四则运算法则与性质
参考资料来源:百度百科-求导
这个是根据标准正态分布函数的性质算出来的,不能直接计算出来。
会发现e^x右边的那一堆,就是(1)式(这里dx趋于0),而(1)式的值为1,因此y=e^x的导数就是它本身,e^x。把这个特殊的例子搞定之后,再来看更一般化的指数函数y=a^x(a为任意实数),这里需要一个小技巧,可以把a写成e^ln a(其中ln是以e为底的自然对数)。
函数的近代定义
是给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示,函数概念含有三个要素:定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
指数函数的积分公式是
∫e^x dx = e^x+c
∫e^(-x) dx = -e^x+c
(c为常数)
因为e^x的微分还是e^x,所以上面的积分可以直接得到~
在这里补充一下一般指数函数的积分:
y=a^x 的积分为
(a^x)/ln(a) + c
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扩展资料
积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。
参考资料来源:百度百科-积分公式
结果是√π/2。
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方: 下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标:
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π,因此u=√π
所以你的问题结果是√π/2
扩展资料
反常积分总共就分两类:
1、积分上下限无界。
2、积分区域有界,函数在边界有暇点。
针对星空类,有如下的计算技巧。
∫baf(x)dx∫abf(x)dx,设在(a,b]上,在a处是暇点。
limx→a+f(x)(x−a)δ存在,δ∈(0,1)limx→a+f(x)(x−a)δ存在,δ∈(0,1) ,则积分收敛。
设在[a,b)上,b处是暇点。
limx→b−f(x)(x−b)δ存在,δ∈(0,1)limx→b−f(x)(x−b)δ存在,δ∈(0,1) ,则积分收敛。
我们说在(0,+∞)(0,+∞)上看积分的收敛性是考虑被积函数要更快趋近于0,而在(0,1)区间上,是说f(x)更慢趋近于0,本质都是让函数的曲线更快靠近参考线。只不过一个水平,一个垂直。因此当函数更快靠近水平线时,将更慢靠近垂直,反之亦然。
(1)∫e^x dx = e^x + c
(2)∫xe^xdx = xe^x - e^x + c
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C